曹顯兵：概率和數(shù)理統(tǒng)計數(shù)一要考30分，比高等數(shù)學(xué)的考試結(jié)果要差一些，沒有那么理想，比線性代數(shù)也要差一些，給考生的印象是這個似乎是最難的，其實不是這樣的。這門課程考試結(jié)果，雖然是最差的，最不理想的，但是并不等于這個最難，分數(shù)低主要有幾個原因：這個課程在大學(xué)里高年級開的，是同學(xué)們最后學(xué)的課程，大家沒有那么重視，而且課時比較少，有的學(xué)校也沒有把這門課程作為必修課，而是選修課，作為必修課的學(xué)�？赡茉诮y(tǒng)計方面也沒有怎么講，所以大家這門課普遍考得不太理想。

　　我想重點是，如何去計算概率的問題，概率統(tǒng)計的一個核心問題是求概率�？荚囶}可能從哪幾個方面來考大家呢？第一可以利用隨機事件的關(guān)系和運算律，還有概率的性質(zhì)來求某些事件發(fā)生的概率。第二方面重點的是可以利用一些重要的概型，比如說古典概型，幾何概型等來求概率，還有一些重要的公式，比如說貝斯公式、條件概率公式來求概率。第三方面，它的可以重點考0-1分布來求概率，同學(xué)們要注意了，0-1分布求概率可以從這幾個方面來出題，一個是0-1分布律，就是離散性數(shù)學(xué)說的分布律，再一個是0-1密度函數(shù)求概率，一個隨機變量的函數(shù)和兩個隨機變量的函數(shù)都包括在這里，無論怎么考你都能夠從容的對付他，0-1分布求概率絕對是考試的重點。

　　另外一個方面還可以從哪方面考察呢？就是0-1數(shù)字特征，這個是沒有考過的。這個包括了數(shù)字期望，方差和協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，這些都是由概率求出來的，當(dāng)然我們可以利用數(shù)字特征反過來求概率，這是考察我們反向思維能力，尤其是離散的分布律和聯(lián)合分布律是可以反過來求概率的，求概率的問題主要是從這四個方面來出題。

　　我們從老師出題的角度來準備是非常充分的。

　　第二考試的重點大家要關(guān)注的是求分布。第一個問題是求概率，第二個問題是求分布�？梢詮哪男┓矫鎭砜寄�？第一是分布函數(shù)的計算，這個可以有這么些變化，一個是把分布律，或者把密度直接告訴考生，讓大家把分布函數(shù)求出來，這是比較容易的，比較難的話，就可以給你一個隨機實驗，你從隨機實驗中要提煉出分布函數(shù)，當(dāng)然大家要記住，分布函數(shù)本質(zhì)是求概率，又回到第一個問題了。什么是分布函數(shù)？是隨機變量小于等于自變量的概率。所以這個地方又可以歸結(jié)為求概率，求概率又會有很多的方法，這個地方也可以考我們這個問題。這個是大家要重點關(guān)注的題型，要在考試前鞏固一下，這個絕對是考試的重點。

　　去年我們的考試情況是這樣的，數(shù)學(xué)一分布函數(shù)考了8分的大題，數(shù)學(xué)三兩個大題都是考分布函數(shù)。

　　第二個問題是求分布函數(shù)的第二個重點是，二維離散型隨機變量聯(lián)合的計算，04年就考了大題。對于這種離散型分布函數(shù)的分布律來說，它給出已知的隨機變量，反過來造出兩個新的隨機變量，要你研究出這兩個新的變量的分布律或者是其他的數(shù)字特征，包括協(xié)方差等，把問題展開。求分布的還有一個特點是連續(xù)型的隨機變量，是求邊緣密度和條件密度，以及二維隨機變量的取值概率。像邊緣分布的的分布密度是考試的重點，求一個和兩個函數(shù)的密度也是考試的重點。大家要從這幾個方面鞏固一下，這個是絕對會考的。

　　再說一個重點的話，就是求數(shù)值特征的問題，就是方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，表面上有這么多不同的特征，大家要把握函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，你只要掌握了函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，你的數(shù)字特征的問題就解決了。這是概率的問題，三個重點的問題。一個是求概率的問題，二是求分布的問題，三是求數(shù)字特征的問題。數(shù)字特征歸根到底是求函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，一個隨機函數(shù)的期望和兩個隨機函數(shù)的期望。

　　統(tǒng)計部分的話，數(shù)四是不考的，只有數(shù)一和數(shù)三要考，數(shù)一03年前大約是7分左右的題，最少是6分，最多是8分。數(shù)三100分制的時候，最少是9分，從去年和今年來看，數(shù)一是9分的題，數(shù)三比較特殊，03年這一部分沒有出題，04年考了17分，一般情況下這個是要出一個題的，所以大家不要放棄統(tǒng)計的部分。我們看看會考什么東西呢？

　　第一個是求統(tǒng)計量的數(shù)字特征，或者是求統(tǒng)計量的分布，這個題型你做過沒有，一般的方法是否掌握了？第二個是求矩估計和極大似然估計，第三是對估計量的好壞進行評價，第一是無偏檢，有效性和一致性，這里面最重要的是無偏性，這個涉及到數(shù)學(xué)期望的計算，其次是有效性，一致性不是重點，但是什么是一致性你要知道。

　　05年的考統(tǒng)計的地方，最有可能考什么不好說，但是我可以作一下預(yù)測。04年最有可能考試的是矩估計和極大似然估計，不小心說對了，05年最有可能考的是求統(tǒng)計量的數(shù)字特征，這是重點要關(guān)注的。我認為這個考的可能性最大。其次關(guān)注是矩估計，極大似然估計求出來之后估計量的評價，這個也是重點考的，最大的分數(shù)放在估計量的標準上。05年假設(shè)檢驗這個地方會出一個小題，這個不是考試的重點，已經(jīng)連續(xù)6年沒有在這一地方出題了，但是既然大綱里寫了，今年很可能考。

　　關(guān)于你比如說U檢驗，T檢驗還有卡方檢驗，這三個的檢驗統(tǒng)計是什么，分布是什么，你了解一下，說不定一秒鐘會得四分，這個不是重點，但是6年沒有考了，可能會出小題。

　　網(wǎng)友：請問在答題書寫方面有什么要注意的，我在大學(xué)里沒有學(xué)過數(shù)學(xué)，是自學(xué)的，所以這方面比較欠缺。

　　曹顯兵：這位網(wǎng)友沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的話，一定要注意這幾個方面，根據(jù)教育部的評分標準上看，每一個題的關(guān)鍵步驟要寫出來，如果寫出來分數(shù)就高了，有的同學(xué)是知道這個步驟，但是沒有寫就丟分了，簡單的步驟可以少一點，節(jié)約時間。舉個例子說，積分定理上，你是用的什么定理一定要寫出來，由什么定理得到什么東西？這都要寫出來，還要明確函數(shù)的性質(zhì)，這個題的關(guān)鍵的理論依據(jù)你必須要寫出來。還有盡可能不要涂改得太多，不小心寫錯一個地方是可以的，但是少作涂改，卷面整潔會給老師一個好印象，印象分也是重要的。如果你的卷面比較工整，可能就會少失分。

　　網(wǎng)友：概率這部分，公式、概念特別多，而且不好記，請問老師現(xiàn)在沖刺階段應(yīng)該如何復(fù)習(xí)比較好？

　　曹顯兵：概率統(tǒng)計的公式相對于微積分來說是比較少的，大家想想古典概型談不上公式，有些公式就是重要幾個分布，0-1分布，泊松分布，正態(tài)分布、區(qū)域分布、指數(shù)分布，這些分布律和密度函數(shù)和分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望等這些都是要記住的，公式密的也基本上在這里。還有剛才說的函數(shù)的期望公式，在后面公式是不多的，概念是有一些。我想同學(xué)們?nèi)绾嗡烙浻脖�，效果會差一些，而且很快會忘記，大家可以結(jié)合一些模型來記憶。比如說二項分布，可以去記一個例子，就是把一枚硬幣重復(fù)的拋N次，你想想正面向上的次數(shù)是K次，如何計算？你把這個模型記住了，公式你就記住了，就是在N中取K的總和。這個公式可是一個考試的重點，而且05年最有可能考的公式，這個公式已經(jīng)有幾年沒有考了，前幾年考得頻率非常非常高，我們之前考過指數(shù)分布和特征分布，這個公式大家要記住。另外比如說想全概率公式也可以通過這個模型記住。我舉個例子，全概率公式如果是死記硬背，就算記得再熟悉可能不一定會解決問題，大家可以記得這么一個模型，比如說現(xiàn)在我們有兩箱產(chǎn)品，每箱產(chǎn)品的次品率大家知道了，我們在任一個箱子中任取一些產(chǎn)品，現(xiàn)在我要求得出來，拿出來的產(chǎn)品次品的概率是什么？這個就是我們要解決的問題。我們仔細推敲一下這個隨機實驗，這個有一個特點，我們是分兩步作完的，第一步是取出一個箱子，第二步我們?nèi)〕鲆恍┊a(chǎn)品�，F(xiàn)在我們要求的是產(chǎn)品是次品的概率，這個就要求公式里B，自然就記住了，你要總結(jié)一下，什么時候用這個公式，就是一個隨機實驗分兩步作完，要求第二步發(fā)生的情況的概率。第一步的所有的結(jié)果，你找出來，這就是公式里面的完美事件組。這里面有模型的，你盡可能的通過模型去理解和分析，這是最牢固的，也是最能解決問題的。

　　網(wǎng)友：今年數(shù)一概率統(tǒng)計的重點是什么？是中間估計和矩估計，還是中心極限定理？

　　曹顯兵：剛才這個網(wǎng)友說的中心極限定理考試的重點，這個好象數(shù)一還從來沒有考過，只要了解一下什么是中心極限定理就可以了，不要當(dāng)成重點。似然估計和矩估計在04年是考過大題的，05年不是重點，如果要考，就是求出來之，是不是無偏的，是不是有效的。區(qū)間估計數(shù)一和數(shù)三都不是重點，只要知道方程可以了。這個不能改的，是固定的。

　　復(fù)習(xí)技巧

　　網(wǎng)友：沖刺階段復(fù)習(xí)概率有沒有好的辦法？

　　曹顯兵：我剛才說了，最好這一部分的復(fù)習(xí)，因為就只有這么三個禮拜了，這一階段時間的重點應(yīng)該放在前邊已經(jīng)作過的模型題和真題拉出來看一下，鞏固一下，不要陷在題海里面，再做一到兩套就足夠了。要把以前的題拿出來看一下，是否很快就可以想到方法，而且是否會知道這個題的考試重點是什么？如果這個題有困難的話，再把參考書拿出來看一下，找出自己的漏洞，看是否有不熟悉的概念和公式，不要做太多的題。

　　網(wǎng)友：感覺事件的關(guān)系運算比較有難度，能不能請老師說一下復(fù)習(xí)的重點和方法？

　　曹顯兵：好的，事件的關(guān)系和性質(zhì)這方面一般會出填空題和選擇題的可能性大一點，一般不會出大題，事件的關(guān)系和運算規(guī)律要把中學(xué)學(xué)的集合聯(lián)系起來，這個不是數(shù)的運算而是集合的運算。比如我們有A－B＋B＝A，但是A－B＋A不等于A.把這些關(guān)系和集合作一些比較，重點要放在概率的性質(zhì)中，性質(zhì)有這么幾個：加法公式、減法公式、對立事件的概率公式。大家注意尤其是減法公式考得比較多，A－B的概率等于A－AB的概率，還有一些題型是A－B實際上是差別的事件，這個事件是與A和B的對立事件的集事件是相等的，經(jīng)常要搞好這個互換，就是A的概率減去B的概率，要把這個概率性質(zhì)熟悉一下，從書中總結(jié)歸納的結(jié)論再仔細看一下，鞏固一下，我想這就沒有問題了。

　　網(wǎng)友：我參加的是MBA的聯(lián)考，這樣的題目特別多，同時關(guān)系的運算往往同概率計算結(jié)合到一起，遇到獨立的事件我就感覺更暈了。

　　曹顯兵：MBA聯(lián)考時概率是要考的，分數(shù)也占得很多，我也在北京大學(xué)講過課。聯(lián)考和普研比要簡單一些，獨立性也是要考的，我想獨立性這方面我再說兩句，B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率就是A的獨立性，如果嚴格的判斷兩個獨立性的話，積事件的概率等于概率的乘積，用它去判別它，一個事件發(fā)生不影響另外一個事件發(fā)生的概率，這兩個事件都是獨立的，這個獨立性千萬不要把它混淆起來，去年普研就單獨考了一個題，兩個事件獨立，并不能推出這兩個事件是互斥的，也就是說兩個獨立的事件可能是互斥的，也可能不是互斥的，可以獨立也可以不獨立，在邏輯上是沒有推導(dǎo)關(guān)系的。如果兩個事件是獨立的，而且這兩個事件的概率都不為零的話，可以推出這兩個事件一定是相容的，這個沒有考過。

　　我再說一個命題：如果兩個隨機事件已經(jīng)互斥了，而且這兩個事件的概率不為零，那么這兩個事件肯定是不獨立的。另外的話，包括普研和聯(lián)考，兩個事件和三個事件的獨立性大家區(qū)別一下，兩個事件的獨立是一個概念，但是三個或者三個以上事件的話有兩個獨立和兩兩獨立，大家查一下書，這個是容易混淆的概念，相互獨立和兩兩獨立也是不同的。

　　網(wǎng)友：請問曹老師，有人說由于數(shù)三考的概率內(nèi)容比數(shù)四多，所以個別題目數(shù)四會難于數(shù)三，有這回事嗎？

　　曹顯兵：應(yīng)該說沒有這回事，數(shù)三數(shù)四的大題基本上是一樣的，而且數(shù)四因為自考的部分可能會多一個題，但是難度是差不多的，我們數(shù)三數(shù)四的概率統(tǒng)計部分比數(shù)一要難，分數(shù)也會多一些，上了研究生以后，這門課程經(jīng)濟類的會比理工的會重要一些。

　　網(wǎng)友：我認為古典概率比較難，雖然高中接觸過，但是經(jīng)常做錯，有必要花很多時間做這個嗎？

　　曹顯兵：古典概率概率里面最難的，但是最難的是從來不考的。古典概率是難點、考點，但是不是考試的重點。古典概率的公式要記住，什么是古典概率你要知道，就是一個隨機實驗所有發(fā)生的結(jié)果，每個結(jié)果發(fā)生的可能性相同，那么一些比較簡單的古典概率會做就可以了，在這個上面花太多的時間是得不償失的，而且一般這個不單獨出題。比如說十件產(chǎn)品里面有三件次品，你任取一件，那么拿到次品概率是什么。網(wǎng)友：數(shù)理統(tǒng)計部分好難啊，曹老師是否有好的建議？

　　數(shù)理統(tǒng)計是最容易的部分，可能網(wǎng)友在大學(xué)中沒有學(xué)過這門課程，所以復(fù)習(xí)起來比較困難。數(shù)理統(tǒng)計的題型特別少，而且作題的方法也是固定的，只要把數(shù)理統(tǒng)計的三個重要分布，卡方分布、T分布和F分布的結(jié)構(gòu)掌握了，把重要統(tǒng)計的分布掌握了，那么前面這一部分求統(tǒng)計量的數(shù)字特征和分布量題就掌握了，至于矩陣完全是固定的方法，就是一個求數(shù)學(xué)期望的問題，如果把這個問題解決了，矩估計是可以完全解決的。不會考一個非常復(fù)雜數(shù)學(xué)期望，你會做期望就會做矩估計，第一步把似然函數(shù)寫出來，第二步求對數(shù)，第三步求偏導(dǎo)數(shù)，在這也不會考導(dǎo)的問題。每個題都是這樣的步驟，所以我想數(shù)理統(tǒng)計部分，只要概率重要部分掌握了的話，應(yīng)該沒有什么難度的。一致性也不是重點，只要知道什么是一致性就可以了。

　　網(wǎng)友：曹老師，數(shù)一的平均分這幾年大概是多少？

　　曹顯兵：比較理想的是50分到51分，不是很理想的，比如說98年就只有37分多一點。那一年的錄取分數(shù)線也只是40分，然后比較難的是01年是38分，錄取分數(shù)線是41分，現(xiàn)在考150分了，統(tǒng)計的平均分應(yīng)該是67分的樣子，這個是符合教育部對試卷的要求的。如果100分制，低于40分，就說明出得難了。題目難易程度對考生的影響不是太大，因為要難大家都難，實際上最關(guān)心難度的還是主管部門：教育部，因為如果太難，對考生的區(qū)分不太好辦。所以現(xiàn)在不會太難，重點還是在基本的知識點和基本概念和基本原理上面，看大家是否熟練，可以結(jié)合兩個以上的考點來考大家的知識掌握的連續(xù)性。

　　網(wǎng)友：關(guān)于數(shù)字特征部分去年考了協(xié)方差結(jié)算，今年是考一維隨機變量的可能性大還是二維？

　　曹顯兵：網(wǎng)友問到這個問題，我想05年到底考一維還是二維不是我出題，我不好說。但是我可以作一個分析，無論是一個隨機變量一維還是二維，我前面說了都歸結(jié)為函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，什么是數(shù)學(xué)期望？我分成兩種類型的隨機變量，一個是離散性一個是連續(xù)型，其他類型的隨機變量我們是求不了的，也是大綱之外的。離散型的隨機變量是變量的取值和概率，作乘積再作和，連續(xù)型是求值和密度的乘積在整個上面做廣義積分，要把握離散型要知道分布函數(shù)，連續(xù)型要知道密度函數(shù)，有的同學(xué)搞混了。協(xié)方差是兩個隨機變量乘積的期望減去期望的乘積，方差也是期望。

　　05年如果考一個隨機變量的話，可能會給你一個隨機實驗，你自己找出來，再去作期望。如果考分布函數(shù)，重點可能在二維，因為考二維你肯定要掌握一維，所以最有可能考的是二維。

　　網(wǎng)友：概率題型感覺上很固定，是不是每年把考研真題做好了，考研就沒有問題的？

　　曹顯兵：考研真題作好了，對你有極大的參考作用，但不是說這樣就可以穩(wěn)穩(wěn)的到理想的分數(shù)。一個前提條件是你是否把歷年真題的考的重點掌握了？不要投機取巧的押題。比如說求分布函數(shù)的題，你是否真正掌握了？自己是否能夠真的作出來。你指導(dǎo)了已知的隨機變量，抓兩個新的變量出來，你會不會做。還有聯(lián)合密度，你是否會求，是否會處理？還有兩個隨機變量函數(shù)的問題，這個是考試的重點和難點，你要把這個地方掌握透了，我說幾點，看看你是否掌握了。

　　兩個隨機變量函數(shù)分布，離散性，那么函數(shù)的隨機變量一定是離散性的，這個分布如何求呢？就把函數(shù)隨即變量看成Z，這個Z取什么值？把概率的值求出來，04年經(jīng)濟類的不就考了嗎？連續(xù)性的你是否掌握了？基本方法是求分布函數(shù)，是求新的隨機變量的分布函數(shù)，關(guān)鍵是要求流動區(qū)域上面的二層積分，這是考試的難點，它的基本的方法是討論積分區(qū)域，要分情況討論。要根據(jù)流動的積分區(qū)域和函數(shù)，如果是分段函數(shù)的話，要分析區(qū)域，不相交的是哪些情況？這個地方掌握了嗎？

　　還有一個隨機變量函數(shù)的分布，你是否掌握了，標準是什么呢？我給一個隨機變量X，你要知道Y＝GX，Y的分布你就會求，你可以知道已知的X是離散型的你會嗎？如果是連續(xù)型的你會嗎？那么只給你分布函數(shù)，不給你連續(xù)型還是離散型，你會求嗎？如果你把這幾個問題搞清楚了，這個地方你就徹底搞清楚的，如果考這幾個知識點你就應(yīng)該可以了。當(dāng)然第三個問題從來沒有考過。分布函數(shù)完全可以作為概率里面最重要也是最基礎(chǔ)的問題去分析，每年都會直接或者間接的涉及到分布函數(shù)，大家還要再鞏固一下分布函數(shù)，對大家會有很大的幫助。

　　網(wǎng)友：在計算時我們會假設(shè)一個事件，之后進行計算，但是我可能假設(shè)不到，所以無法作出，但是我只要看到書上的答案，就可以做下去。這是什么原因？

　　曹顯兵：可能大家對題沒有準確的把握住，有人給他假設(shè)好了，他就會做了。我們不妨看一個練習(xí)來說，我說一個例子，現(xiàn)在我們城里有兩個小孩的家庭，我們從這些家庭中作這么一個實驗，隨機的選一個家庭，現(xiàn)在我知道所選擇的家庭里面小孩有一個是男孩，我讓你計算一下另外一個小孩是女孩概率，你是否會做出正確的假設(shè)，你會正確的表述這個事件。我們要把握兩點，要求的東西是什么概率？你要清楚什么是條件概率，你要知道一個小孩是男孩，這是一個信息，另外一個信息你不知道，所以這是條件概率。你假設(shè)事件A是有一個小孩是男孩，要完全根據(jù)來假設(shè)。B表示另外一個小孩是女孩，你要求的是P（B一數(shù)A）這個就表示A方程下B發(fā)生的概率。你會寫出條件概率的話，會表述了就會求了，簡單的條件概率可以直接寫出來，復(fù)雜的概率也可以根據(jù)方程去做。這個結(jié)果應(yīng)該是2/3，這個也是可以根據(jù)古典概型去計算的。兩個小孩有四種情況，老大是男孩，老二是男孩，老大是男孩，老二是女孩，老大是女孩，老二是男孩，還有老大老二都是女孩，之后就可以求出來了，能否正確的作出假設(shè)就需要大家準確的理解題意，不知道這個同學(xué)是否滿意。

　　關(guān)于答題技巧

　　網(wǎng)友：請問在答題書寫方面有什么要注意的，我在大學(xué)里沒有學(xué)過數(shù)學(xué)，是自學(xué)的，所以這方面比較欠缺。

　　曹顯兵：這位網(wǎng)友沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的話，一定要注意這幾個方面，根據(jù)教育部的評分標準看，每一個題的關(guān)鍵步驟要寫出來，如果寫出來分數(shù)就高了，有的同學(xué)是知道這個步驟，但是沒有寫就丟分了，簡單的步驟可以少一點，節(jié)約時間。舉個例子說，積分定理上，你是用的什么定理一定要寫出來，由什么定理得到什么東西？這都要寫出來，還要明確函數(shù)的性質(zhì)，這個題的關(guān)鍵的理論依據(jù)你必須要寫出來。還有盡可能不要涂改得太多，不小心寫錯一個地方是可以的，但是少作涂改，卷面整潔會給老師一個好印象，印象分也是重要的。如果你的卷面比較工整，可能就會少失分。

　　主持人：由于時間關(guān)系，我們的聊天就要結(jié)束了，最后請曹顯兵老師就概率和數(shù)理統(tǒng)計的沖刺作一些指導(dǎo)性建議？

　　曹顯兵：在最后20多天的復(fù)習(xí)中，大家要把握，這些重要的公式，包括全概率公式，貝葉斯公式，貝努利概型公式等，這些重要的公式一定要通過具體的例子去理解和把握它，剛才說的這幾個公式也是05年要重點考的，求分布的題是肯定考的，至于是求分布函數(shù)還是聯(lián)合分布律還是考密度，這個就不好說了，但是求分布是肯定要考的，同學(xué)們要把歷年考求分布的題看一下，也可以把我們學(xué)校中講的題拿出來看一下，鞏固一下，不要做什么難題了，這樣會打擊自己的信心。碩士研究生也不會考什么難題，會考基本題，要看一下方差、協(xié)方差和函數(shù)，歸根到底是函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，一個函數(shù)隨機變量函數(shù)和兩個函數(shù)的隨機變量函數(shù)，這個地方也是要看，也是一定要考的。

　　剛才有的網(wǎng)友提出來古典概型，這個不要去花太多的時間看了。像中心極限定理都不是考試的重點，大家看一下就可以了，統(tǒng)計這一部分就是數(shù)一和數(shù)三的同學(xué)考，重點關(guān)注一下無偏性有效性的地方，如果把握好這些地方就沒有問題了，就可以拿到好的成績。謝謝大家。

50加上30等于多少？

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