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高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)總結(jié)及課后習(xí)題解讀
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發(fā)表于 2010-10-21 09:36
樓主
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函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象） 極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般） 極限的本質(zhì)是通過已知某一個(gè)量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個(gè)量（因變量）的變化趨勢 由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性……應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立 在提出極限概念的時(shí)候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無必然聯(lián)系 連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限 等于 函數(shù)在該點(diǎn)的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近 導(dǎo)數(shù)的概念 本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時(shí)的極限，更簡單的說法是變化率 微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個(gè)說法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線性近似，二、這個(gè)線性近似帶來的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時(shí)，近似的程度就不夠好，這時(shí)就不能說該函數(shù)可微分了 不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算 什么樣的函數(shù)有不定積分 定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時(shí)，近似成為精確 什么樣的函數(shù)有定積分 求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶 定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用 高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法 微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性 微分中值定理，可從幾何意義去加深理解 泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個(gè)問題：一、這些多項(xiàng)式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評估這個(gè)多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），當(dāng)余項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增多趨向于零時(shí)，這種近似的精確度就是足夠好的 |
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發(fā)表于 2010-10-21 09:36
沙發(fā)
下冊（一）： 多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù) 最典型的是二元函數(shù) 極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢 連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等 導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念 沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù) 通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況 高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換 微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在 僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在 若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在 極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜 極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零 所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。 級數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級數(shù)。若是正項(xiàng)級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是常用來作比較的級數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯(cuò)級數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯(cuò)級數(shù)，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問題具體分析。 比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究冪級數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存在一個(gè)收斂半徑。所以對冪級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。 逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)雜，需具體分析。 一個(gè)函數(shù)能展開成冪級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的冪級數(shù)能收斂于原來函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。 微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。 下冊（二） 定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個(gè)空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度 這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來計(jì)算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量 在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實(shí)被積函數(shù)都是空間位置點(diǎn)的函數(shù)，于是把這種以空間位置作為自變量的函數(shù)稱為場函數(shù) 場函數(shù)有標(biāo)量場和向量場，一個(gè)向量場相當(dāng)于三個(gè)標(biāo)量場 場函數(shù)在一點(diǎn)的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個(gè)向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個(gè)方向上的投影，所以梯度的模是方向?qū)?shù)的最大值 梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無變化的方向，這兩者垂直 梯度實(shí)際上一個(gè)場函數(shù)不均勻性的量度 梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場變成向量場 一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系 一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系 物體在一點(diǎn)處的相對體積變化率由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運(yùn)算把向量場變成標(biāo)量場 散度為零的場稱為無源場 高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來 無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無損失又無補(bǔ)充 物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運(yùn)算把向量場變成向量場 旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個(gè)曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時(shí)這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。 無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個(gè)區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形 進(jìn)一步考察無旋場的性質(zhì) 旋度為零，相當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無關(guān)——相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數(shù)，這是一個(gè)場函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢函數(shù)——所得的勢函數(shù)的梯度正好就是原來的力場——因?yàn)榱龊瘮?shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分 簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關(guān)——梯度場——有勢場——全微分 要注意以上這些說法之間的等價(jià)性 三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉 |
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下冊（一）： 多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù) 最典型的是二元函數(shù) 極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢 連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等 導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念 沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù) 通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況 高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換 微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在 僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在 若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在 極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜 極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零 所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。 級數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級數(shù)。若是正項(xiàng)級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是常用來作比較的級數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯(cuò)級數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯(cuò)級數(shù)，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問題具體分析。 比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究冪級數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存在一個(gè)收斂半徑。所以對冪級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。 逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)雜，需具體分析。 一個(gè)函數(shù)能展開成冪級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的冪級數(shù)能收斂于原來函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。 微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。 下冊（二） 定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個(gè)空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度 這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來計(jì)算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量 在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實(shí)被積函數(shù)都是空間位置點(diǎn)的函數(shù)，于是把這種以空間位置作為自變量的函數(shù)稱為場函數(shù) 場函數(shù)有標(biāo)量場和向量場，一個(gè)向量場相當(dāng)于三個(gè)標(biāo)量場 場函數(shù)在一點(diǎn)的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個(gè)向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個(gè)方向上的投影，所以梯度的模是方向?qū)?shù)的最大值 梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無變化的方向，這兩者垂直 梯度實(shí)際上一個(gè)場函數(shù)不均勻性的量度 梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場變成向量場 一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系 一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系 物體在一點(diǎn)處的相對體積變化率由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運(yùn)算把向量場變成標(biāo)量場 散度為零的場稱為無源場 高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來 無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無損失又無補(bǔ)充 物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運(yùn)算把向量場變成向量場 旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個(gè)曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時(shí)這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。 無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個(gè)區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形 進(jìn)一步考察無旋場的性質(zhì) 旋度為零，相當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無關(guān)——相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數(shù)，這是一個(gè)場函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢函數(shù)——所得的勢函數(shù)的梯度正好就是原來的力場——因?yàn)榱龊瘮?shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分 簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關(guān)——梯度場——有勢場——全微分 要注意以上這些說法之間的等價(jià)性 三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉 |
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發(fā)表于 2010-10-21 09:36
4樓
下冊（一）： 多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù) 最典型的是二元函數(shù) 極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢 連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等 導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念 沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù) 通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況 高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換 微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在 僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在 若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在 極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜 極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零 所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。 級數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級數(shù)。若是正項(xiàng)級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是常用來作比較的級數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯(cuò)級數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯(cuò)級數(shù)，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問題具體分析。 比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究冪級數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存在一個(gè)收斂半徑。所以對冪級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。 逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)雜，需具體分析。 一個(gè)函數(shù)能展開成冪級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的冪級數(shù)能收斂于原來函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。 微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。 下冊（二） 定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個(gè)空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度 這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來計(jì)算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量 在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實(shí)被積函數(shù)都是空間位置點(diǎn)的函數(shù)，于是把這種以空間位置作為自變量的函數(shù)稱為場函數(shù) 場函數(shù)有標(biāo)量場和向量場，一個(gè)向量場相當(dāng)于三個(gè)標(biāo)量場 場函數(shù)在一點(diǎn)的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個(gè)向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個(gè)方向上的投影，所以梯度的模是方向?qū)?shù)的最大值 梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無變化的方向，這兩者垂直 梯度實(shí)際上一個(gè)場函數(shù)不均勻性的量度 梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場變成向量場 一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系 一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系 物體在一點(diǎn)處的相對體積變化率由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運(yùn)算把向量場變成標(biāo)量場 散度為零的場稱為無源場 高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來 無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無損失又無補(bǔ)充 物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運(yùn)算把向量場變成向量場 旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個(gè)曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時(shí)這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。 無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個(gè)區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形 進(jìn)一步考察無旋場的性質(zhì) 旋度為零，相當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無關(guān)——相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數(shù)，這是一個(gè)場函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢函數(shù)——所得的勢函數(shù)的梯度正好就是原來的力場——因?yàn)榱龊瘮?shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分 簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關(guān)——梯度場——有勢場——全微分 要注意以上這些說法之間的等價(jià)性 三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉 |
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