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中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試大綱

本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)非數(shù)學(xué)類(lèi)的碩士研究生入學(xué)考試。概率統(tǒng)計(jì)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，在物理、化學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用�？荚嚨闹饕獌�(nèi)容有以下幾個(gè)部分：

概率統(tǒng)計(jì)中的基本概念

隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征及特征函數(shù)

獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理及大數(shù)定律

假設(shè)檢驗(yàn)

點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)

簡(jiǎn)單線性回歸模型

要求考生對(duì)基本概念有深入的理解，能計(jì)算一些常見(jiàn)分布的期望、方差，了解假設(shè)檢驗(yàn)、點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)的統(tǒng)計(jì)意義，能解決一些經(jīng)典模型的檢驗(yàn)問(wèn)題、區(qū)間估計(jì)及點(diǎn)估計(jì)。最后，能理解大數(shù)定律及中心極限定理。

一、 考試內(nèi)容

(一) 基本概念

1. 樣本、樣本觀測(cè)值

2. 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的直觀描述方法：如干葉法、直方圖

3. 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字描述：樣本均值、樣本方差、中位數(shù)事件的獨(dú)立性、樣本空間、事件

4. 概率、條件概率、Bayes公式

5. 古典概型

(二) 離散隨機(jī)變量

1. 離散隨機(jī)變量的定義

2. 經(jīng)典的離散隨機(jī)變量的分布

a. 二項(xiàng)分布

b. 幾何分布

c. 泊松分布

d. 超幾何分布

3. 離散隨機(jī)變量的期望、公差

4. 離散隨機(jī)變量的特征函數(shù)

5. 離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念

6. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及二個(gè)離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)

(三) 連續(xù)隨機(jī)變量

1. 連續(xù)隨機(jī)變量的概念

2. 密度函數(shù)

3. 分布函數(shù)

4. 常見(jiàn)的連續(xù)分布

a. 正態(tài)分布

b. 指數(shù)分布

c. 均勻分布

d. t分布

e. c2分布

5. 連續(xù)隨機(jī)變量的期望、方差

6. 連續(xù)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義

7. 二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)

8. 連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)

(四) 獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理和大數(shù)定律

1. 依概率收斂

2. 以概率1收斂(或幾乎處處收斂)

3. 依分布收斂

4. 伯努利大數(shù)定律

5. 利莫弗-拉普拉斯中心極限定理

6. 辛欽大數(shù)定律

7. 萊維-林德伯格中心極限定理

(五) 點(diǎn)估計(jì)

1. 無(wú)偏估計(jì)，克拉美-勞不等式

2. 矩估計(jì)

3. 極大似然估計(jì)

(六) 區(qū)間估計(jì)

1. 置信區(qū)間的概念

2. 一個(gè)正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間

3. 大樣本區(qū)間估計(jì)

4. 兩個(gè)正態(tài)總體期望之差的置信區(qū)間(方差已知)

(七) 假設(shè)檢驗(yàn)

1. 檢驗(yàn)問(wèn)題的基本要素：第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率、第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率、檢驗(yàn)的功效、功效函數(shù)、檢驗(yàn)的拒絕域、原假設(shè)、備擇假設(shè)

2. 一個(gè)正態(tài)總體的期望的檢驗(yàn)問(wèn)題

3. 大樣本檢驗(yàn)

4. 基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)(t檢驗(yàn))

5. 兩個(gè)正態(tài)總體期望之差的檢驗(yàn)

(八) 簡(jiǎn)單線性回歸模型

1. 簡(jiǎn)單線性回歸模型定義

2. 回歸線的斜率的最小二乘估計(jì)

3. 回歸線的截距的最小二乘估計(jì)

4. 隨機(jī)誤差(隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)差)的估計(jì)

二、 考試要求

(一) 基本概念

1. 理解樣本、樣本觀測(cè)值的概念

2. 了解并能運(yùn)用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的直觀描述方法如：干葉法、直方圖

3. 理解樣本均值、樣本方差及中位數(shù)的概念并能運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算

4. 掌握如下概念：概率、樣本空間、事件、事件的獨(dú)立性、條件概率，理解并能靈活運(yùn)用Bayes 公式

5. 理解古典概型的定義并能熟練解決這方面的問(wèn)題

(二) 離散隨機(jī)變量

1. 理解離散隨機(jī)變量的定義

2. 理解如下經(jīng)典離散分布所產(chǎn)生的模型

a. 二項(xiàng)分布

b. 幾何分布

c. 泊松分布

d. 超幾何分布

能熟練計(jì)算上述分布的期望、方差，能熟練應(yīng)用上述分布求出相應(yīng)事件的概率

3. 了解離散隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義和性質(zhì)

4. 了解兩個(gè)離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念

5. 理解二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及兩個(gè)離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)的概念并能熟練運(yùn)用相關(guān)的公式解決問(wèn)題

(三) 連續(xù)隨機(jī)變量

1. 理解連續(xù)隨機(jī)變量的概念

2. 理解密度與分布的概念及其關(guān)系

3. 熟悉如下常用連續(xù)分布

a. 正態(tài)分布

b. 指數(shù)分布

c. 均勻分布

d. t分布

e. c2分布

4. 了解連續(xù)分布的期望、方差的概念

5. 了解有限個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念

6. 理解二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)并能運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算

7. 了解連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)的概念及性質(zhì)

(四) 獨(dú)立隨機(jī)變量和的中心極限定理和大數(shù)定律

1. 了解依概率收斂、以概率1收斂(或幾乎處處收斂)、依分布收斂的定義，了解上述收斂性的關(guān)系

2. 理解并掌握伯努利大數(shù)定律和利莫弗-拉普拉斯中心極限定理

3. 了解辛欽大數(shù)定律、萊維-林德伯格中心極限定理

(五) 點(diǎn)估計(jì)

1. 理解無(wú)偏估計(jì)、矩估計(jì)、極大似然估計(jì)

2. 能夠計(jì)算參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)

(六) 區(qū)間估計(jì)

1. 理解置信區(qū)間的概念

2. 能夠計(jì)算正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間(包括方差已知、方差未知兩種情況)

3. 在樣本容量充分大的條件下，能夠計(jì)算近似置信區(qū)間

4. 能夠計(jì)算兩個(gè)正態(tài)總體的期望之差的置信區(qū)間(方差已知)

(七) 假設(shè)檢驗(yàn)

1. 理解以下概念：第一、二類(lèi)錯(cuò)誤的概率、檢驗(yàn)的功效、功效函數(shù)、檢驗(yàn)的拒絕域、檢驗(yàn)的原假設(shè)、備擇假設(shè)

2. 能給出一個(gè)正態(tài)總體的期望的檢驗(yàn)的拒絕域(包括方差已知、方差未知)

3. 能用大樣本方法求拒絕域

4. 能給出基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域

(八) 簡(jiǎn)單線性回歸模型

1. 理解簡(jiǎn)單線性回歸模型定義，能寫(xiě)出模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式

2. 能計(jì)算回歸線的斜率、截距的最小二乘估計(jì)

3. 了解隨機(jī)誤差(隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)差)的估計(jì)

三、 參考書(shū)

1. 陳希孺，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，科學(xué)出版社，中國(guó)科技大學(xué)出版社， 1999

2. 盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社(第三版)，2001

3. 劉光祖，概率論與應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)，高等教育出版社，2000