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新考研大綱如約而至。對(duì)考研人而言,關(guān)注點(diǎn)應(yīng)從對(duì)考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上。考慮到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí),已具備一定基礎(chǔ),也對(duì)真題中的題型有一定了解,但未必形成知識(shí)體系,重難點(diǎn)也未必完全把握。所以,借助此次與廣大考研人交流的機(jī)會(huì),梳理高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn),以期給正在全力攀登的考研人搭一把手。
專(zhuān)題四一元積分
一元積分包括三部分內(nèi)容:不定積分、定積分和廣義積分。下面逐一討論。
1.不定積分
不定積分主要考什么?概念、性質(zhì)、計(jì)算?計(jì)算!下面就梳理一下不定積分的計(jì)算方法。該方法可總結(jié)為"一個(gè)基礎(chǔ)兩個(gè)方法"。所謂"一個(gè)基礎(chǔ)"指:有理函數(shù)積分的處理方法;所謂"兩個(gè)方法"指根式的處理方法和分部積分法。
何謂有理函數(shù)積分?即被積函數(shù)為有理函數(shù)的積分。而有理函數(shù)即分子分母分別為n次和m次多項(xiàng)式的函數(shù)。有理函數(shù)積分是整個(gè)不定積分計(jì)算的基礎(chǔ),因?yàn)楹芏嗥渌?lèi)型的積分(如指數(shù)有理式積分、三角有理式積分等)可化為有理函數(shù)積分?荚囍苯涌加欣砗瘮(shù)積分的可能性不大,但可能間接考,也就是在計(jì)算過(guò)程中的某一步用到有理函數(shù)積分的處理方法。那如何處理?簡(jiǎn)單說(shuō)就是在老舊危房的墻壁上我們經(jīng)常看到的那個(gè)字--拆。如何拆?教材和較權(quán)威的輔導(dǎo)書(shū)上都有討論,總結(jié)起來(lái)有三種情況:被積函數(shù)若含有x-a這種一次因子,則被積函數(shù)拆出一項(xiàng)A/(x-a),其中A為待定參數(shù);若含有(x-a)^2這種二次因子,則被積函數(shù)拆出兩項(xiàng)A/(x-a)+B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b這種二次因子(該拋物線無(wú)零點(diǎn)),則被積函數(shù)拆出一項(xiàng)(Ax+B)/(x^2+ax+b)。
接下來(lái),討論根式的處理。若被積函數(shù)含有根號(hào),我們自然想到去根號(hào)。如何去根號(hào)取決于根號(hào)下面表達(dá)式的具體形式:如果根號(hào)下面是關(guān)于x的一次式子,那么整體令成t,就能達(dá)到去根號(hào)的效果;如果根號(hào)下面是關(guān)于x的二次式子,要去根號(hào),我們可以考慮通過(guò)換元讓根號(hào)下面整體出現(xiàn)一個(gè)平方,這時(shí)要借助一些三角恒等式,如根號(hào)下面是1-x^2,我們令x=sint就能達(dá)到效果;如果根號(hào)下面是其他形式,基本思路也是去根號(hào),可類(lèi)似上面考慮。當(dāng)然,這里的"換元"更嚴(yán)格的表述是不定積分的換元,注意不光要把被積函數(shù)中的變量換掉,還要把微分號(hào)中的變量也換成新的積分變量。
說(shuō)著說(shuō)著就說(shuō)到了考試的重點(diǎn)內(nèi)容分部積分了。首先要把分部積分的公式弄清楚,可以這樣形式地記憶:被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積,先把一個(gè)函數(shù)湊微分(從形式上看就是把這個(gè)函數(shù)拿到微分號(hào)中),進(jìn)一步等于新的積分式中的兩個(gè)函數(shù)相乘減去兩個(gè)函數(shù)交換位置。
接下來(lái)要處理好"何時(shí)用"和"怎么用"這兩個(gè)問(wèn)題。數(shù)學(xué)上的道理和生活中的道理是相通的:打游戲時(shí)想放大招,若把握不好這兩個(gè)問(wèn)題,那就可能出現(xiàn)不該放招時(shí)放了大招而該放大招時(shí)卻沒(méi)有大招了,也可能出現(xiàn)想放大招卻放不出的囧境;打籃球時(shí)要用好自己的身體,如果這兩個(gè)問(wèn)題處理不好,就可能在不恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間出現(xiàn)在不合適的位置,想為球隊(duì)做貢獻(xiàn)卻總是添亂。那么什么時(shí)候想到用分部積分法呢?有兩個(gè)信號(hào)(滿(mǎn)足其一即可):1)被積函數(shù)是不同類(lèi)型函數(shù)之積;2)被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和多項(xiàng)式等求導(dǎo)后比自己簡(jiǎn)單的函數(shù)。
如果確定用分部積分法,那么u(x)和v'(x)的選取是個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。如何選?觀察分部積分公式,不難發(fā)現(xiàn)等號(hào)左邊有u(x),而等號(hào)右邊會(huì)出現(xiàn)u'(x),說(shuō)明求導(dǎo)后比自己簡(jiǎn)單的函數(shù)適合作為u(x),如lnx,arctanx和多項(xiàng)式等;另外,等號(hào)左邊有v'(x),第一步需要把v'(x)拿到微分號(hào)中,說(shuō)明容易湊微分的函數(shù)適合作為v'(x),如sinx,exp(x)等。
考試考不定積分計(jì)算主要考察根式的處理和分部積分法。有多種小的類(lèi)型,如"一箭雙雕"型(用變量代換這支箭射下根號(hào)和反三角函數(shù)這兩只雕),"相互抵消"型(兩項(xiàng)單獨(dú)用分部積分難以算出結(jié)果,但在計(jì)算過(guò)程中這兩項(xiàng)能抵消)等。需大量練習(xí)才能達(dá)到熟練的要求。
2.定積分
先說(shuō)定積分的定義。幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和。特殊情況下(區(qū)間取[0,1],等分,在每個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)處的函數(shù)值)的定積分定義可作為一個(gè)公式求一種特殊類(lèi)型的極限--n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限。此外,數(shù)一數(shù)二同學(xué)還需掌握微元法的基本思想。
再說(shuō)定積分的性質(zhì)。定積分的大部分性質(zhì)在計(jì)算過(guò)程中經(jīng)常用到,在此不必贅述。值得一提的是比較定理。該定理告訴我們,比較定積分的大小,在保證積分區(qū)間相同的情況下,實(shí)質(zhì)上就是比較被積函數(shù)的大小?荚嚳级ǚe分的比較本質(zhì)上都是在考比較定理。
微積分基本定理從本質(zhì)上解決了定積分的計(jì)算問(wèn)題。根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式,求定積分在被積函數(shù)連續(xù)的情況下只需求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),再計(jì)算其函數(shù)值之差即可。
下面我們說(shuō)說(shuō)定積分有什么特殊性質(zhì)。首先是對(duì)稱(chēng)區(qū)間積分,我們比較熟悉的是被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)的性質(zhì),此外真題中出現(xiàn)了一種新的情形:被積函數(shù)有一個(gè)因子是偶函數(shù)且其余部分有特殊性質(zhì),也有相應(yīng)的結(jié)論?梢杂涀∵@個(gè)結(jié)論,用它來(lái)做同種類(lèi)型的題目。接著就是做變量代換后區(qū)間不變的情況。如被積函數(shù)為f(sinx),積分區(qū)間為0到pi/2,若做變量代換:x=pi/2-t可得到另一個(gè)積分,從形式上看,相當(dāng)于把原積分的sin換成了cos。這也可以為我們解題提供思路。此外,就是定積分的分部積分法。這里有若干種小的類(lèi)型,如被積函數(shù)含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),f''(x)等,被積函數(shù)含有變限積分均可考慮定積分的分部積分法。另外,作為全面復(fù)習(xí),"點(diǎn)火公式"(被積函數(shù)為sinx的n次冪,積分區(qū)間為0到pi/2)也不應(yīng)放過(guò)。
3.廣義積分
廣義積分不少同學(xué)不熟悉,實(shí)際上考研要求很明確:會(huì)用定義判斷廣義積分的斂散性;會(huì)計(jì)算廣義積分。
定積分要存在需滿(mǎn)足兩條:積分區(qū)間有限且被積函數(shù)有界。破壞這些條件得到的積分稱(chēng)為廣義積分。具體說(shuō)來(lái),無(wú)窮區(qū)間的廣義積分有三種:積分上限為無(wú)窮,積分下限為無(wú)窮,積分上、下限均為無(wú)窮;無(wú)界函數(shù)的廣義積分(也稱(chēng)瑕積分,因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間無(wú)界,在區(qū)間內(nèi)部或端點(diǎn)處一定有讓被積函數(shù)無(wú)界的點(diǎn),這種"不好"的點(diǎn)我們稱(chēng)為瑕點(diǎn))也有三種:瑕點(diǎn)在區(qū)間的左端點(diǎn),瑕點(diǎn)在區(qū)間的右端點(diǎn),瑕點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部。
廣義積分收斂發(fā)散的定義的形式看起來(lái)較復(fù)雜,可以按照如下方式理解:把廣義積分按照定積分的牛頓-萊布尼茲公式算出來(lái)(把正負(fù)無(wú)窮帶入看成取極限,瑕點(diǎn)處的函數(shù)值也看成取極限),如果結(jié)果是個(gè)數(shù),則廣義積分收斂;如果不存在,則廣義積分發(fā)散。
這里要特別注意兩類(lèi)積分:積分上、下限均為無(wú)窮的廣義積分和瑕點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部的廣義積分。前者在用牛頓-萊布尼茲公式之前,要用0把積分區(qū)間拆成兩個(gè)區(qū)間,進(jìn)而把積分拆成兩個(gè)積分,然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個(gè)積分的斂散性,原積分收斂的充要條件是這兩個(gè)積分都收斂;后者要用瑕點(diǎn)把積分區(qū)間拆成兩個(gè)區(qū)間,進(jìn)而把積分拆成兩個(gè)積分,然后運(yùn)用前面的方法討論這兩個(gè)積分的斂散性,原積分收斂的充要條件是這兩個(gè)積分都收斂。
廣義積分的計(jì)算就是定積分加取極限。如果是上文提到的那兩種特殊類(lèi)型的廣義積分,先拆成兩個(gè)積分,再計(jì)算即可。
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